趣味数学故事|趣味数学——用折纸法画椭圆

时间:2015-09-24 来源:数学故事 点击:

趣味数学故事|趣味数学——用折纸法画椭圆

       今天我们再来介绍用折纸法画椭圆的方法,方法很画抛物线非常类似。昨天我们用矩形通过不断的折叠得到了抛物线,今天我们是要用圆形纸片,通过类似的方法来折叠出椭圆。
      折纸法画椭圆方法
      1:先准备一个圆形纸片,在纸片中间(不能是中心点)确定一点P.
     
      2:开始折叠圆,将圆折起一角,使得圆周正好过点F
     
      3: 如此,便有了一折痕L,我们当然知道,这样的折叠可以有很多种方式,这样继续折下去,你将得到若干条折痕,将每一条折痕都用笔标记出来,你会发现,这些折痕衬托出了一个椭圆的轮廓:
     
      4: 接下来的事情就很简单,你画一条曲线,使之和每一条折痕相切就行了,得到的曲线就是以F和圆形O为焦点的一个椭圆。所用的方法和我们昨天用矩形纸片折抛物线的时候是非常的类似。当然,下面我们就应该证明为何得到的曲线就是椭圆。
      折纸法画椭圆的证明
     
      首先我们要知道的是,因为F异于O点,所以若以F和O为焦点,那么可以画一个椭圆,设这个椭圆为C。如上图所示,考虑其中一条折痕,做F点关于折痕对称的点M,显然M应该在圆周上,连接MO,交折痕于P,这个P点就是我们的重点了。根据对称性,PF=PM,所以PF+PO=PM+PO=MO=r。也就是说,P点到F和O点的距离之和是个与折痕无关的常数,所以P点应该在椭圆C上。另一方面,考虑异于P的Q点,可以很容易看出,QF+QO并非一个常量,所以Q点不在椭圆C上,也就是说,折痕于椭圆C只有一个交点P,该折痕就是椭圆C的一条切线,同理,每一条折痕都是椭圆C的切线,众多切线包围住椭圆,也就显示出其轮廓,这正是我们折纸法折出椭圆的原理。
       文章来源:学夫子数学博客

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