斐波那契数列python|斐波拉契数列

时间:2020-09-20 来源:数学故事 点击:

  13世纪初,欧洲最好的数学家是斐波拉契;他写了一本叫做《算盘书》的著作,是当时欧洲最好的数学书。书中有许多有趣的数学题,其中最有趣的是下面这个题目:

  “如果一对兔子每月能生1对小兔子,而每对小兔在它出生后的第3个月裏,又能开始生1对小兔子,假定在不发生死亡的情况下,由1对初生的兔子开始,1年后能繁殖成多少对兔子?”

  斐波拉契把推算得到的头几个数摆成一串:1,1,2,3,5,8……

  这串数里隐含着一个规律:从第3个数起,后面的每个数都是它前面那两个数的和。而根据这个规律,只要作一些简单的加法,就能推算出以后各个月兔子的数目了。

  于是,按照这个规律推算出来的数,构成了数学史上一个有名的数列。大家都叫它“斐波拉契数列”,又称“兔子数列”。这个数列有许多奇特的的性质,例如,从第3个数起,每个数与它后面那个数的比值,都很接近于0.618,正好与大名鼎鼎的“黄金分割律”相吻合。人们还发现,连一些生物的生长规律,在某种假定下也可由这个数列来刻画呢。

  斐氏本人对这个数列并没有再做进一步的探讨。直到十九世纪初才有人详加研究,1960年左右,许多数学家对斐波拉契数列和有关的现象非常感到兴趣,不但成立了斐氏学会,还创办了相关刊物,其后各种相关文章也像斐氏的兔子一样迅速地增加。

  斐波拉契(Fibonacci)数列来源于兔子问题,它有一个递推关系,

  f(1)=1

  f(2)=1

  f(n)=f(n-1)f(n-2),其中n>=2

  {f(n)}即为斐波拉契数列。

  斐波拉契数列的公式

  它的通项公式为:{[(1+√5)/2]^n-[(1-√5)/2]^n}/√5(注:√5表示根号5)

  斐波拉契数列的某些性质

  ■1),f(n)f(n)-f(n1)f(n-1)=(-1)^n;

  ■2),f(1)f(2)f(3)……f(n)=f(n2)-1

  ■3),arctan[1/f(2n1)]=arctan[1/f(2n2)]arctan[1/f(2n3)]

  比如:随着数列项数的增加,前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.6180339887……(后一项与前一项之比1.6180339887……)

  还有一项性质,从第二项开始,每个奇数项的平方都比前后两项之积多1,每个偶数项的平方都比前后两项之积少1。

  如果你看到有这样一个题目:某人把一个8*8的方格切成四块,拼成一个5*13的长方形,故作惊讶地问你:为什么64=65?其实就是利用了斐波那契数列的这个性质:5、8、13正是数列中相邻的三项,事实上前后两块的面积确实差1,只不过后面那个图中有一条细长的狭缝,一般人不容易注意到。

  如果任意挑两个数为起始,比如5、-2.4,然后两项两项地相加下去,形成5、-2.4、2.6、0.2、2.8、3、5.8、8.8、14.6……等,你将发现随着数列的发展,前后两项之比也越来越逼近黄金分割,且某一项的平方与前后两项之积的差值也交替相差某个值。

  斐波那契数列的第n项同时也代表了集合{1,2,...,n}中所有不包含相邻正整数的子集个数。

  来源:新浪博客·高考数学工作间

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