[力的运动]力的运算
[关于力的运动]关于力的运算
一、教法建议
【抛砖引玉】
学生在初中已研究过力的运算，但都局限于两到三个力在一条直线上的力的运算，到了高中有关力的运算就要研究互成角度的力的运算和迁涉到多个共点力的运算，这就需要更多更广泛的数学知识.要使学生充分认识到力的运算不只是简单的加和减，这可以通过演示实验和学生的实验来加深印象，使其初步了解力运算的规律.根据学生们初中数学的基础，可以加上正交分解法计算力的方法，但这必须是在力的合成和分解的基础上去讲.除此以外，建议把牛顿第三定律可以放在这里讲，因为我们在进行力的运算时经常需要用到作用力和反作用力的知识.物体的平衡也是本章运算时经常接触到的问题，这可以在复习初中学过的有关知识后直接运用即可.
【指点迷津】
在初中我们在研究物体平衡时就进行过力的运算，那么，在高中这种运算又将如何深化呢？请阅读下述文字，认真理解和体会，同时通过实际的演算，了解、掌握有关力的运算和规律.
牛顿第三定律：（课本第三章之五）
把这节提到前面来是因为在进行分析力，进行力的运算时，需要用到此规律.其实我们在第一单元课中，求摩擦力时就已用到这一规律了，为在计算问题时提高科学性和严密性，所以把这一重要概念提到前面来讲.
牛顿第三定律是力的概念的一个深化：力是物体对物体的作用，两个物体之间力的作用总是相互的.我们把两物体相互作用的这一对力，叫作用力和反作用力.牛顿第三定律就是说明物体间相互作用的关系的.
两个物体间的作用力和反作用力总是大小相等，方向相反，分别作用在两个物体上；它们同时产生，同时增大、同时减小，同时消失；而且两个力是同种性质的力.
牛顿第三定律只适用于性质确定的力，如重力、弹力、摩擦力等，并且有确定的施力物和受力物.
在力的运算中，不能把牛顿第三定律的内容与物体受二力平衡时所受的力相混淆，这在分析物体受力时尤其重要.
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区别 |
一对作用力和反作用力 |
一对平衡力 |
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牵涉物体 |
两个物体，它们互为施力物和受力物 |
三个物体，两个施力物所施动力共同作用在另一物体上 |
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力的性质 |
力的性质一定相同 |
力的性质不一定相同 |
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力的效果 |
作用力和反作用力各有各的效果 |
两个力共同作用在一个物体上，使它保持平衡 |
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力的变化 |
同时产生，同时变化，同时消失 |
一个力变化或消失时，另一个力不一定变化或消失 |
两对力物体受力情况的分析：掌握物体受力分析的方法，并依题意画出物体受力分析图是解决力学问题的第一关，在分析物体受力情况时，应按以下步骤依次进行.
正确选择研究对象：
选择研究对象时，一般的原则是依题意，选题目所求的力的受力物体为研究对象.但有时题目牵涉到求物体所受的压力时，则研究对象一般选施力物体，求出那个力的反作用力，再应用牛顿第三定律求得所求之力.
例：如图1，求AB间的摩擦力.已知A的质量mA，AB间摩擦因数为m.
分析：此题欲求摩擦力，必须知道物体A对B的压力，我们可以看出B受的压力没办法求，只有从物体A求出A所受的支持力，再利用A所受支持力与物体B受压力是一对作用力和反作用力，才能求B.
画研究对象草图，并在其上画受力分析图：
这里要注意图中只画该研究对象所受的力，而不能将该研究对象对其它物体所施加的力画在图上.
分析受力时首先要按顺序分析，其次分析力时一定要找到施力物体，没有施力物体的力是不存在的.按顺序分析力目的是防止“漏力”.首先要分析重力、而后分析弹力和摩擦力，因为这两个力是“接触力”，每有一个接触物，最多给它两个作用力，即弹力和摩擦力，弹力方向与接触面积垂直，摩擦力方向跟接触面相切.
注意研究对象每个受力的施力物体，则是防止“添力”的重要手段.例如：飞行的子弹，有的同学总是认为子弹向前飞是受到了一个向前的作用力，实际上我们一分析，这个“力”是找不到施力物体的.
在分析物体受力时，还要注意物体的运动状况.分析时，一定要用受力情况与运动状态是否相符合来检验.防止出现“添力”的现象.
如图2：与球体的接触面表面光滑，且BC为水平面，现球体处于静止状态，分析球体受力情况.
有的同学很容易就分析出：球体受重力；因为与AB、BC接触所以AB和BC对球体产生弹力.但我们用运动状态来检验一下，可看出AB不能对球有作用力，因为如果有力作用，则球不会处于静止状态.
力的合成：
首先要弄清，如果一个力作用在物体上，产生的效果跟几个力共同作用的效果相同，那么这个力就叫那几个力的合力，而那几个力叫分力.求几个已知力的合力叫做力的合成.
其次要弄清，求合力的方法只有在各力在一定直线上时，才能用加减法，而各力不在一条直线上时，要运用平行四边形定则去求，这一定要通过实验认真去理解.
力的分解：力的分解是力的合成的逆运算，是求一个已知力的两个分力.仍然是运用力的平行四边形定则.两个分力的方向要根据已知力的两个效果来确定，不能随意分解；两个分力的受力物就是合力的受力物；两个分力的作用点就是合力的作用点；合力和分力的关系是等效代替的关系.合力与分力不能同时参与运算.
利用力的正交分解法求合力：这是一种比较简便的求合力的方法，它实际上是利用了力的分解的原理把力都分解到两个互相垂直的方向上，然后就变成了在同一直线上的力的合成问题了.这样计算起来就简单多了.
直角坐标的选取：一般选水平和竖直方向上的直角坐标；也可以选沿运动方向和垂直运动方向上的直角坐标.在力学计算上，这两种选择可以使力的计算最简单，只要计算到互相垂直的两个方向就可以了，不必求总合力.
计算方法举例：
如图3所示，物体A沿倾角为q的斜面匀速下滑.求摩擦力及摩擦因数.
分析：选A为研究对象分析A受力
作受力图如图
选坐标：如图
只有重力在x,y坐标上分解：
Fx=GžSinq Fy=GžCosq
f在x轴(反向),N在y轴上(正向)
∵匀速下滑 ∴处于平衡态
则有
则
力矩：这里要把力臂、力矩的概念弄清.力矩概念是反映力的转动效果的.
二、学海导航
【思维基础】
知识是思维的基础，通过下述分析，认真思考，掌握好基础知识和基本技能，这是学好本单元知识的关键.
要理解作用力和反作用力的概念.
例：关于作用力和反作用力，下列说法中正确的是：
由于它们的大小相等，方向相反，并沿一条直线，因而它们二者可以相互抵消；
凡作用在两个物体上的大小相等、方向相反且沿一条直线的一对力都是一对作用力和反作用力；
作用力与反作用力只能同时出现在两个直接相互作用的物体上；
作用力与反作用力不可能是性质不同的力.
评析：这要抓住作用力和反作用力基本概念，它们是两个物体间的相互作用；它们的特点是同时产生，同时变化，同时消失；它们的性质一定相同.根据以上概念你就不难分析出正误了.(1)(2)为错.
能清楚地掌握牛顿第三定律的内容：
例：牛顿第三定律说明了：
任何力都不可能离开两个物体；
力不能离开物体而独立存在；
汽车拉着拖车向前运动，是因为汽车对拖车的拉力大于拖车对汽车的反作用力；物体放在桌面上，物体所受重力和桌面所受压力是一对作用力和反作用力.
评析：牛顿第三定律的内容是两个物体间的作用力和反作用力总是大小相等，方向相反、作用在一条直线上.从这一基本概念中可看到力是离不开物体的，而且是离不开相互作用的两个物体，并且总是大小相等，方向相反.所以后两个叙述是错的.
能在特定的物理情境中，区别作用力和反作用力及一对平衡力.
例：放在水平面上的物体A、B，受水平拉力F作用沿水平面向右作匀速运动，如图4a，绳与A、B间的相互作用力如图4b所示.其中F1是A对绳的拉力、F2是绳对A的拉力、F3 是绳对B的拉力，F4是B对绳的拉力，下列说法正确的是：
F1 ,F4是一对作用力和反作用力；
F1 ,F4是一对平衡力；
F2 ,F3 是一对作用力和反作用力；
(4)F1 , F2 和F3 , F4是一对作用力和反作用力；
评析：分清作用力与反作用力和平衡力，这是非常重要的.这必须从基本概念出发，作用力与反作用力是相互作用的物体间的受力情况，而平衡力是某物体受到的大小相等，方向相反的作用，这样你就可以分析(1)(3)为什么错了.
能利用牛顿第三定律分析物体受力：
例：如图5所示，质量为60kg的人，站在质量为20kg的吊篮中，吊篮用一根不计质量的软绳悬挂，绳绕过不计质量和摩擦的定滑轮，一端拉于人的手中.当人用力拉绳，使吊篮匀速上升时，绳的拉力及人对吊篮底部的压力多大？
评析：在实际应用中，牛顿第三定律为我们分析物体受力提供了重要的依据.当有几个物体发生相互作用，而只要求分析其中某物体受力情况时，有时必须先求出其它物体的受力，然后通过牛顿第三定律找出所要分析的物体的受力.此题就是这样的题.
这里要解决人与吊篮间的相互作用力的大小，所以，我们必须将人与吊篮分别进行研究.
先分析人的受力：人受绳拉力，吊篮的支持力和人受的重力.如图6-a.因做匀速运动，所以可列出：
T+N-G1=0.
再看吊篮：受绳拉力，因定滑轮只改变力的方向，而不改变其大小，所以拉力大小与人受的拉力相等.除此外，还有人对吊篮的压力及吊篮的自重.如图6-b，同理可列出：T-(N¢+G2)=0.
N与N¢ 是一对作用力和反作用力.
这样，即可求出拉力和人对吊篮的压力.
必须掌握力的合成的意义：
例：关于合力，下列说法中正确的是：
一个力如果能完全代替其它几个力的作用效果，则该力为其它几个力的合力；
合力一定大于任何一个分力；
合力就是几个力的代数和；
合力小于任何一个分力是可能的.
评析：分析这类题一定要从基本概念出发，合力的定义告诉我们，如果一个力作用在物体上，它产生的效果跟几个力共同作用的效果相同，这个力就叫那几个力的合力.所以(1)很明显是正确的.另外合力的计算方法是平行四边形定则，所以显然(3)是错误的，至于合力与分力之大小关系，你多画几个图看看即可知道了.
必须做好“互成角度的两个力的合成”实验.通过这个实验你也可把上题中合力与分力的关系搞清楚.
例：“互成角度的两个力的合成”的实验目的是验证力的合成的平行四边形定则.由这个实验得出的以下几个结论中，证实了实验目的的结论是：
由两根细线同时拉橡皮筋，使皮筋伸长到0点时，弹簧秤的读数F1和F2之和等于只用一个弹簧秤拉皮筋到达相同的0点的读数F；
在白纸上以相同的比例画出F1、F2和F的图示，并以F1、F2为邻边画平行四边形，其对角线为合力F¢.比较F¢与F的大小及方向.二者几乎相同；
在白纸上以相同比例画出F1、F2力的图示，并以F1、F2为邻边，画一平行四边形，其对角线就是合力；
在两条细绳拉皮筋时，改变它们之间的夹角，但每次都使皮筋伸长到0点.这样每次所得的F1、F2的读数之和相等.
评析：从验证实验目的的角度看，(1)和(2)都说的是代数和，这肯定是错的，而(3)这里没有“验证”合力，要验证必须按(2)的步骤.
例：在实验中，若F1的大小及方向固定不变，那么为了使皮筋仍伸长到0点，对F2来说，下面几种说法中正确的为：
F2可以有多个方向；
F2的方向和大小可以有多个值；
F2的大小和方向是唯一的定值；
F2的方向是唯一的，但大小可多值.
评析：这个实验你好好做一下，结论很容易得出.你也可以从理论上分析一下.合力一定，其中一个分力也确定，你通过画图看一下，能画多少个平行四边形.
通过实验验证“平行四边形定则”后，就要求同学们必须能非常熟练地利用平行四边形定则求合力.对于求两个互垂直的力的合，则要求你能利用勾股定理求解.
例：在图7中F表示已知F1、F2的合力，F1表示其中一个力，则另一个力F2的画法在图8中正确的是：
评析：此题已知条件是知道一个分力和合力，求另一个分力的问题.也就是说知道对角线和平行四边形的一个边，求另一个边的问题，你按这个思路画一下图.
能在给定的物理情景中，判断分力与合力：
例：如图9所示，绳与滑轮的重量及相互间的摩擦力忽略不计，当q逐渐增大的过程中，绳的拉力T及其合力F大小的变化情况为：
(1)F和T均逐渐增大；
(2)F增大，T不变；
(3)F不变，T增大；
(4)F和T可能保持不变.
评析：从图示可看出，绳子的合力F等于悬挂物重时，才能保持图示的物理的过程，即F=G，因此，F是一个定值.这样就排除了前两种说法.然后你再通过力的分解方法，把一个定值分解成两个等大的分力，当分力夹角大时，你看看分力将如何变化？
能利用特殊图形的代数解法求分力和合力：
例：图10中水平横杆OA质量不计，当细绳的悬点从B点移到C点时（OA始终保持水平），绳AB的拉力T，杆AO受的压力N的变化情况为：
T、N均减小；
T、N均增大；
T减小，N增大；
T增大，N减小.
评析：重物G通过绳索悬挂于A点， 这个体系之所以保持现状态，是由于同时有BA以A产生的拉力T和OA对A点支持力造成的.而这个支持力就是相当于BA的拉力T和重物通过绳索对A的拉力（大小等于G，方向竖直向下）的合力的平衡力.而杆AO受的压力是支持力的反作用力，则求出上述的合力，即可求出AO受的压力.画出受力图，根据图可列出各力的代数式：
讨论q 增大，二力如何变化.因为q增大，则Sinq和tgq都增大，所以T与N都减小.
能利用正交分解法解决实际问题：
例：光滑斜面上放置一重为G=200牛的物体，如图11.水平推力F做用于物体上使物体静止，求水平推力F和物体对斜面的压力N¢各为多大？
评析：选研究对象显然选物体为方便，物体对斜面的压力N¢与物体所受的支持力为作用力和反作用力关系.
分析受力时首先看重力；而后看由于物体相接触而可能产生的弹力和摩擦力，此题是“光滑斜面上”，因此没有摩擦力；最后看外力作用.画出受力图.
坐标选取很重要，选择合适，计算起来很方便，此题就不要按一般习惯沿斜面的方向建立直角坐标系，因为沿斜面建立坐标系，就要对G和F两个力进行分解，并且在列方程时，同时出现两个未知量，要用方程组去解.现在我们选水平竖直坐标系，就大大地简化了解题的过程.得到：
【学法指要】
解题时要特别注意思路和方法，尤其是解力学题，解题步骤不能乱.在分析了题意后，要严格按照选研究对象，受力分析，画草图，列方程，解方程的步骤一步步地进行.
例：如图12所示，质量为m的物体放在水平面上，在外力F的作用下物体向右作匀速直线运动，求物体与平面间的摩擦力系数.
评析：根据题意知：要求得摩擦系数，必须求物体受的摩擦力和正压力，正压力可通过作用力和反作用力的关系求出支持力即可.因此研究对象应选物体.
分析物体受力：首先受重力大小为mg.物体与水平面接触，水平面给物体一个支持力.又因为物体向右匀速运动，所以水平面给物体一个沿水方向向左的摩擦力.最后，就是还受有外力.画受力图.
坐标选取：选水平竖直坐标系对解题最简便.
列方程：先把所有不在坐标轴上的力分解到坐标轴上，而后按x轴和y轴分别列平衡方程，则有：
，则
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【思维体操】
在研究物理知识时，要重在综合运用知识和创新能力的提高，通过练习要促进我们思维的扩散，把知识想深、想透，使知识灵活运用.下面选几个例题分析一下，我们可以从题目的多解和多变，进行思维的训练，为创造思维的发展奠定基础.
例1：两个大人和一个小孩沿河岸拉一条小船前进，两个大人的拉力分别为F1=400牛和F2=320牛，它们的方向如图13所示.要使船在河流中间行驶，求小孩对船施加的最小的力.
解法1：先看两个大人拉的效果，利用平行四边形定则画出合力（如图），可看出，在两个大人的作用下，船将向左偏离中心河道，要保证小船沿中心河道航行，小孩只能在河的右岸拉.但哪个方向的拉力最小呢？你不妨在大人合力与中心航道的基础上多画几个平行四边形试一下，你会看到只有作用力垂直中心航道时，小孩施加的力最小.我们可以利用直角三角形的关系利用代数求解.
先求两大人的合力：
以合力F和航向为基础，求小孩用力.
当然，也可以完全*作图来求，这种求法误差大些.
解法二：也可以利用正交分解法来求解.
建立沿中心航线和垂直河岸的直角坐标.如图14，可看出，要保证小船中心航线航行，必须满足在y轴上合力为零.设小孩施力可在x,y轴上分解为F3x和F3Y.则：
因为
，所以要F3最小，只有F3x=0,故小孩施的最小力应沿y轴的负方向，其大小为186牛.
解题时应广开思路，多想几种解法，促进我们扩散思维的能力.
平时解题，我们还可对我们研究的问题，多提几种设想，多提几种可能发生的物理过程，这也是锻炼我们创新思维的好方法.
比如例1我们还可做如下设想，使题目发生多变.
变化1：当小孩所施的力与F1在同一侧的方向上，能否使船沿中心航线航行？
分析：根据前面解法中分析可知道，这是绝不可能的.这个结论可以利用正交分解法的示意图中，你能很清楚地看出来的.
变化2：当小孩所施的力与F2在同一方向上，是否可使船沿中心航线航行？若能，力需多大？
分析：从正交分解法解法中可看到，只要小孩施力的方向指向右岸，都有可能使小船沿中心航线航行.（你想一下为什么说有可能？而不说一定？）当小孩拉力与F2同方向时，小孩的拉力
牛.
变化3：为使小船沿中心航线航行，是否可以通过改变F1、F2方向的方法来实现？若可以，则如何施力？
分析：利用平行四边形定则分析最简单.为了使船沿中心航线航行，只要二力的合力沿中心航线即可，你自画画图看看.能有多少解？
三、智能显示
【心中有数】
有关力的运算是力学的重要的基本功.在上一单元物体所受各力的特点的基础上，本单元就要求能准确地选好研究对象，按顺序分析好物体受力，能利用平行四边形定则或正交分解法，进行有关力的运算.并且能利用初中所学过的有关平衡的理论，解决一些实际问题.在选择研究对象时，有些要用到牛顿第三定律的知识，这一知识特别容易与物体平衡的条件相混淆，这是我们必须分清楚的.
【动脑动手】
(一)选择题
下列关于力的合成与分解的说法中正确的是：
(1)合力可能等于分力；
(2)合力可能垂直于它的一个分力；
(3)合力可能与它的两个分力都垂直；
(4)大小不变的两个共点力的合力随分力夹角的增大而增大.
图15中，小球被细绳斜吊着放在光滑斜面上，在向左推动斜面一小段距离（保持小球留在斜面上）过程中，绳子受到的拉力和斜面所受压力将：
(1)减小、增大；
(2)增大、增大；
(3)减小、不变；
增大、不变.
关于力的合成和分解，下列说法中正确的有：
(1)5牛和7牛的两个力，不可能合成15牛的合力；
(2)3牛和3牛的两个力的合力还可能等于3牛；
(3)一个10牛的力，可以分解为两个大小都为1000牛的分力；
把一个50牛的力分解，若一个分力与其夹角为90°，则另一个分力不可能小于或等于50牛.
(二)计算题：
如图16所示，AB为一根竖立的电线杆，由于电线的重力对电线杆的水平拉力是F，为了保持电线杆不倾倒，需要拴一条钢索AC，AC与水平成45°，那么此时电杆受压力的大小和方向将如何？若钢索与地面间的夹角逐渐增大时，绳的拉力和电线杆受的压力将如何变化？（请用多种方法解一下）
答案：
⒈(1)(2)；⒉(1)；⒊(1)(2)(3)(4)
F；都增大.
【创新园地】
两个半径相同的光滑球，叠放在内壁光滑的圆筒内，如图17所示，已知圆筒的内径是球半径的3倍，每个球重为G，求：圆筒内壁的A、B、C三点所受的压力.（试用多种方法求解）
变法1：当增大圆筒直径，使其最大小于4倍球半径，则A、B、C三点的压力将如何变化？
变法2：若将圆筒如图18所示倾倒，当圆筒与水平面成多大角时，O2开始把O1向外推？
变法3：若在变化2的情况时，圆筒直径增大，则满足O2推动O1的条件，圆筒倾角将如何变？
答案：
变法1：FB不会改变，FA=FC都增大.
变法2：提示O2沿筒底下滑瞬间的条件讨论清即可.a应为60°.
变法3：你结合变法1和变法2的结论分析一下.
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